威尔逊定理(Wilson’sTheorem)

组别:提高级
难度:7

威尔逊定理 (Wilson’s Theorem) 是数论中的一个重要定理,主要用于素数的判定。它的内容如下:
威尔逊定理: 如果 p 是一个素数,那么: (p−1)!≡−1(mod p)
即,(p−1)!+1 能被 p 整除。
这里 (p−1)! 表示从 1 到 p−1 的所有整数的阶乘。

定理的逆命题也是成立的,即如果一个正整数 nn满足 (n−1)!≡−1(mod n),那么 n 是一个素数。

举例说明:

  1. 设 p=5,根据威尔逊定理: 4!=4×3×2×1=24
    24≡−1(mod 5)
    24+1=25 是 5 的倍数,验证了 5 是素数。
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