堆排序(heap sort)
适用级别：提高组
难度系数：6
堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：
同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子。
下标为i的左孩子是2i+1
下标为i的右孩子是2i+2
下标为i的父结点是(i-1)/2
大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]
小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]
堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。
步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。
a.假设给定无序序列结构如下：
2.此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。
3.找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。
5、交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。
此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。
步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。
a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换
b.重新调整结构，使其继续满足堆定义
c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.
后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序
再简单总结下堆排序的基本思路：
a.将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;
b.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素”沉”到数组末端;
c.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。
代码实现：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 | /**************************************************************** * Description: mplementation of heap sort * Author: Alex Li * Date: 2023-06-08 20:56:13 * LastEditTime: 2023-07-14 18:26:47 ****************************************************************/ #include <iostream> using namespace std; //把i做为根，进行堆化，N是指数组大小。 //to heapify a subtree rooted with node i, n is size of heap tree void heapify(int arr[],int N, int i){ //初始把i做为最为大值标记，initialize largest as root int largest=i; //左叶结点为2i+1 int l=2*i+1; //右叶结点为2*i+2 int r=2*i+2; //如果左边孩子大，就把左边孩子做为最大值if left child is larger than root if(l<N&&arr[l]>arr[largest]) largest=l; //如果右边孩子大，就把右边做为最大值 if(r<N&&arr[r]>arr[largest]) largest=r; //如果最大值不是arr[i]，与最大值交换，然后堆化 if(largest!=i){ swap(arr[i],arr[largest]); heapify(arr,N,largest); } } void heapSort(int arr[], int N){ //建立堆，N/2-1是第一个非叶结点，从它开始堆化 for (int i =N/2-1; i >=0; i--)heapify(arr,N,i); // 把每个结点都进行遍历，每次产生出一个最大值 for (int i =N-1 ; i>0; i--){ //把最大值放到数组尾部 swap(arr[0],arr[i]); //从堆顶进行重新堆化 heapify(arr,i,0); } } void printArray(int arr[],int N){ for (int i = 0; i < N; i++)cout<<arr[i]<<' '; cout<<'\n'; } //driver function int main(){ int arr[]={14,3,10,8,1,9,2}; int N=sizeof(arr)/sizeof(arr[0]); heapSort(arr,N); cout<<"sorted arry is \n"; printArray(arr,N); } |